副鼻腔炎？気管支炎？咳がとまりません

乳幼児/男性 - 2016/05/14

お尋ねします。

4歳男児
ＧＷ後半の平日(6日 金曜)に幼稚園に登園し、土日月曜と普段通りに過ごしていましたら10日の夕方より
急な発熱(38℃から、あっとゆうまに39℃台)をしました。
前日にアデノウイルスの報告が幼稚園からあったので
罹患したものと思い、小児科を受診しましたら
風邪とのこと。
フロモックスとムコダインを処方され服用しましたら
熱が2日半～ほどで下がりました。(結果アデノではなかった？)

解熱と同時期から、表には出てこない鼻水？痰？のようなもので
咳が酷いです。
最初はコンコンと乾いた咳から、その日の夜中には
ゲホゲホゴホゴホと4～5回続くような咳に変わり、 一睡もできませんでした。翌日も起きているときに咳は出ていて鎮まっても
10～15分もたたないうちに咳が出ます。
鼻水をすすったり、飲み込もうとするとむせる感じです。
鼻かみをさせても、表面には出てこず奥にあるように見受けられます。
この症状が出る前に、副鼻腔炎の治療をしていました。
(クラリス カルボシステイン 鼻うがい)

◎質問◎
この酷い咳は、気管支炎になっているのでしょうか？
それとも
副鼻腔炎から来る後鼻漏でしょうか？
副鼻腔炎の治りかけに新たな風邪をひいたのでしょうか？

気管支炎の咳と風邪の咳と喘息の咳の
見極めかたはありますか？

その際、小児科、耳鼻咽喉科、呼吸器内科、
いずれに受診したら良いでしょうか？