猫アレルギーについて

30代/女性 - 2016/06/19

0才3ヶ月の娘のアレルギーの疑いについて伺いたいです。
うちには娘が生まれる前から猫がいます。
今日初めて猫と娘が近くで長い時間目を合わせて対面していました。娘は猫の存在に初めて気付いたようで、笑いかけながら何かお話ししていました。とても見ていて微笑ましかったのですが、その後目の周りを痒がり、赤くなり、瞼にポツポツができていました。白目は充血していませんでした。
伺いたいのは
1.乳児湿疹は朝方ひどくなるものですか？
2.猫を入室禁止部屋など作らずに過ごしているので、外出先から帰ってきたらすぐに赤くなるなら完全に猫アレルギーかなと思うのですが、基本的に無症状なのですが、猫の近くにいる時と朝方だけ目が赤くなる（痒くなる）というような猫アレルギーはありますか？
3. 3ヶ月の赤ちゃんにアレルギー検査をしてくれますか？
4.もし娘が猫アレルギーだったとして、このまま猫をなるべく近付けないで、掃除を丁寧にしながら共存していれば、免疫がついて大丈夫になる可能性もありますか？