好き嫌い多く、氷ばかり食べる2歳。貧血？

乳幼児/女性 - 2014/06/15

2歳2ヶ月の女児です。
ここ3週間〜1ヶ月ほどの話ですが、氷を砕いたものを初めて食べさせてから、氷ばかりを欲しがるようになってしまいました。
冷凍庫を指差して「こおり！こおり！」を連呼し、たくさん食べるとお腹が痛くなるからダメだよと言っても、食べるまで聞きません(泣き出す事もあります)。
最初は、氷の冷たい、カリカリの食感が面白くて気に入ったのだろうと思っていましたが、貧血の時も氷ばかり食べたくなったりするようで、少し気になります。
また、食べ物の好き嫌いも多く、最近は特に食べない料理が多いです。
肉や魚も唐揚げと白身魚のフライくらいしか食べず、野菜も大抵のものは吐き出します。
食べ物の好き嫌いが多いのも貧血の一症状という記述をネットで見つけ、不安です。
機嫌などは良く、常に外遊びをしたがるくらい元気もあるのですが、貧血の可能性を知るには、やはり血液検査を受けさせるしかないのでしょうか？
また、このような場合、血液検査の必要性はかなり高いものでしょうか？
ちなみに、2歳になる前後あたりから、フォローアップミルクをやめ、お昼寝と夜の就寝前に牛乳を飲ませるようにした(1日300ccくらい。50ccほど白湯で薄めることもあります)のですが、牛乳はあまり良くないのでしょうか？
先生方お忙しいなか恐縮ですが、ご回答よろしくお願いいたします。