生後４ヶ月での抗生物質の処方について

乳幼児/女性 - 2015/05/18

生後４ヶ月の娘が連休明けから鼻水 咳が続いています。
８日に37度6分熱があり、様子をみていたら、熱はおさまったのですが、咳がひどくなって、咳き込んでおっぱいをもどすので、10日に時間外で受診しました。
3歳のお姉ちゃんの風邪がうつったのでしょうということで、薬をもらいましたが、うまく飲ませられませんでした。
少し咳がましになったかと思っていたのですが、一週間たっても治らなくて、またタンの絡んだような咳をするので、近くの病院に行くと、副鼻腔炎と言われ、抗生物質を処方されました。
まだ４ヶ月なのに、抗生物質は大丈夫なのでしょうか？
放っておいても治らないと言われたので、治さないと酷くなって他の病気になるかもしれないから処方されたのでしょうか？
生後半年までは抗生物質を処方しない病院もあると聞いて不安です。
病院で聞けば良かったのですが、薬が抗生物質とは知らずに処方箋薬局で受け取った時に気づきました。
よろしくお願いいたします。