3週間治らない咳と鼻水について

30代/女性 - 2016/04/18

子供の治らない咳について。
2歳半の子供です、咳が3週間も治りません。症状としては、鼻水も鼻の奥でズルズルと音が聞こえて、痰が絡んだ咳になります。
一度、発熱も二日間ありましたが、元気があり解熱剤は使用していません。
特に咳が寝入り端にひどく、咳き込んで吐いてしまうこともよくあります。
小児科と耳鼻科に行き、薬を貰いましたが、ほとんど改善されません。

今までに処方された薬は、アスベリン、カルボシステイン、ジルテック、シングレア、トスフロキサシントシル、アレグラです。
薬は抗生物質が入っていると嫌がって飲まないことの方が多いです。抗生物質以外の薬はきっちり3週間飲ませました。

治らないのは抗生物質をしっかり飲ませないからでしょうか？
鼻水が良くならないと咳も治らないと思いますが、鼻水の原因も解りません。
先生も原因は風邪では？と言っていただけです。
治らない咳の原因は何が考えられるでしょうか？