発熱後、かゆみのある発疹が出ています

10歳未満/女性 - 2017/12/10

5歳の子です。先週の月曜に３８℃ほどの熱を出したため、火曜日に小児科を受診しました。咳も鼻水もなく、喉が赤いとのことでただの風邪との診断でした。一時は４０℃まで熱が出ましたが、水曜日の朝には熱が下がりました。その後赤い細かい発疹が出始め、胸、背中、腕、耳の横、太ももに出ています。特に胸と背中がたくさん出ていて、かゆみがあり、白い核のようなものも見受けられます。潰せるくらい大きいものではありません。
どんな病気が考えられるのかと、どのくらいでインフルエンザの予防接種が可能か知りたいです。