細菌性の風邪の高熱について

10歳未満/男性 - 2018/01/29

6歳の息子について。26（金）夜、急激に39℃の発熱。27（土）も39℃台の高熱、午前中、小児科でインフルエンザの検査にて陰性、薬をもらい帰宅。熱が下がらず、夕方16時頃、10秒ほど痙攣？のようになり念のため夜間救急へ。再びインフルエンザの検査も陰性。28（日）も39℃～40℃の高熱。本日29（月）午前に再度、小児科を受診し血液検査、白血球の値が12,000、細菌性の風邪と診断され、抗生剤（セフジトレンピボキシル細粒）を処方してもらい服用を2度試みるも2度とも嘔吐。夕方、お願いして座薬（エポセリン坐剤125）を処方してもらいましたが、すぐに大便と一緒に出してしまいました。よって抗生剤は体内に入っておらず、熱も39℃と高熱のままです。そこで質問なのですが、
1．細菌性の風邪でここまでの高熱（39～40℃）が丸3日間ずっと出続けることはあるのでしょうか？
2．息子は何度か細菌性の風邪になっているのですが、細菌性の風邪は抗生剤を体内に入れないと治らないのでしょうか？
3．抗生剤は飲み薬や座薬ではなく注射や点滴で体内に入れることはできますか？
4．抗生剤は服用後、通常どのくらいで効果があらわれますか？
5．考えすぎかもしれませんが、細菌性とのことで細菌性髄膜炎が心配です。発熱から数日間、経過してから、その後、髄膜炎となる可能性もありますか？ ちなみにHib、肺炎球菌の予防接種は受けています。
以上、よろしくお願いいたします。