赤ちゃんが免疫異常の疑い

乳幼児/男性 - 2018/02/23

もうすぐ生後5か月になる男児について質問です。
生後3週間くらいから脂漏性湿疹が始まり、首から上だけかさぶたのようなものができたり消えたりしていました。
この時から皮膚科にかかり始めました。
その後、生後３か月〜４か月はじめくらいに、湿疹がかさぶたが減り半分赤みになったこと、腕・脚にも赤みが出たことで再び受診すると、動物やホコリなどのアレルギーの疑いがあるとのことでした。自宅に犬、猫がいるので部屋を隔離して空気清浄機を置き、処方された薬を塗っていたら1週間ほどで肌がほぼきれいになりました。
と、思ったら左右の耳の周辺にニキビのようなものができ、膨らんで授乳時に痛そうにしていたので少し押すと潰れて膿と血がが出てきました。消毒液を塗る際に見えたのですが、その場所には針穴くらいですが根深そうな穴があり、不思議に思いました。翌日、綺麗に治ったと思っていたら２日目には周辺が少し腫れてきたのがわかり、３日目にはニキビだった場所が小豆のようになってやはり痛そうだったので、また皮膚科にかかりました。膿をたくさん出してもらって、抗生物質・塗り薬を処方していただきました。生後４か月で化膿するのは珍しい、繰り返すようなら免疫異常の疑いもあるとのことでした。
調べてみましたが、いまいちよくわからず、免疫異常というのはどういうことで、気をつけなければいけないこと、起こりうる困難などを教えていただきたいのです。
よろしくお願いします。
写真は、腫れ始めのものです。