1歳 頻繁に風邪をひく 痰絡みの咳1ヶ月続く

乳幼児/女性 - 2018/03/27

1歳2ヶ月になる子どもが頻繁に風邪をひきます。保育園には通っておらず、兄弟もいません。母乳はまだあげていて、離乳食は少ししか食べませんが、身長、体重は平均のかなり上のほうです。
主人は幼少期に気管支炎で2度、入院していますが、アレルギーや喘息はありません。

去年の秋から現在まで7回 風邪をひいています。何も症状がないのは、1週間続けば良い方です。鼻水が2,3日続き→痰絡みの咳が2週間〜長いときは1ヶ月 のパターンの繰り返しです。鼻水が治ってもいつも痰絡みの咳だけが長引きます。発熱は2回程です。
咳は寝ている時が特に酷く、ひどい時は何回か痰が絡み大量に嘔吐したり、むせて何回も起きてしまいます。加湿をし、電動鼻水吸引器を使用し、小児科でムコダイン、痰の切れる薬をもらっても、薬は1週間分のみ処方され、その後、薬が切れてから1週間以上は喉が痰でゴロゴロいって痰絡みのゲホゲホという咳が治りません。周りの子どもは、鼻水だけで治ったり、うちの子ども程頻繁に風邪をひいてはいません。

質問
1 主人に似て気管支が弱いのでしょうか？
2 喘息の可能性はありますか？
3免疫をつけるためには薬はあまり飲まない方がいい、他にも子どもに風邪薬はリスクがある為、薬に頼りたくないのですが、薬が無くなっても治らない場合は再度、病院で薬をもらうべきですか？

4どうしても酷い咳のときは、呼吸器科など専門的な診察を受けてもいいと思いますか？

長くなりましたが、よろしくお願いします。