１歳 発熱

10歳未満/男性 - 2018/04/06

1歳3ヶ月の男の子です。
今朝から38度の発熱で、お昼頃からは39.3度の熱になり、小児科受診済みです。
熱の割に機嫌は良く、食欲も水分もとれてます。
受診の結果も、特に喉も赤くないとのこと。
突発性発疹の可能性もあるとの事でした。
そこで質問ですが、
1.
5日前から、母親である私が鼻風邪ひいてました。それが移った場合、私が熱は出ていなくても、子供は出ることありますか？
ちなみに、私の風邪は鼻水が酷かったのですが、子供は鼻水なしの、熱のみです。
2.
起きてる時は比較的元気でしたが、早めに寝てしまい、それから何度か眠りが浅くなり、おっぱいを加えるとまた寝るという感じです。
抱っこしてると安心するのか、グッスリした顔で寝るのですが、眠りが浅くて何度も起きても、解熱剤は使用しなくて大丈夫でしょうか？
3.
手のひらはとても暖かいのですが、足の裏は、冷たいまではいきませんが、暖かくありません。
まだ熱は出きってませんか？

以上、ご回答いただけると、助かります。
よろしくお願い申し上げます。