ほんとに鼻風邪なのでしょうか？

30代/女性 - 2018/04/12

いつもお世話になっております。
４歳の子なんですが、３日前から咳が出ていて一昨日の夜から熱が出ていて昨日の夜中４０度以上熱が出てしまい、救急に行きました。鼻風邪だと言われて、１日分の薬と熱冷ましをもらって様子を見ていたのですが、昼間は熱が上がったり下がったりしていて、二時間前くらいに熱を計ったら３７度くらいだったんですが、さっき寝てしまったので起こさないように熱を計ったらまたイキナリ４０度近く逆戻りしてしまい、急いでまた熱冷ましを飲ませました。
普通、大人でも子供でも熱が高いときは手も足も熱いですよね？
うちの子は手も足も冷たくて、体だけ熱く心臓がバクバクしているのですが、おかしいですか？
ほんとに鼻風邪なんでしょうか？？
できれば急ぎで回答ほしいです