1歳児と母親、下痢のみが続いています

乳幼児/女性 - 2018/06/12

1歳1ヶ月の子供が10日くらい前から便がゆるく、回数もいつもより多いです(普段は日に1～2回程度だったのに、今は5～6回)。
嘔吐や発熱はなく、元気で食欲旺盛なので、おそらく最近ミルクを牛乳に切り替えたせいで、まだうまく消化できていないせいではないかと思っていました。
しかし私も数日前から泥状の便が出て1日7～8回くらいトイレに行っています(といっても少量しか出ない時も多いので脱水とかにはなっていません)。子供と同じく嘔吐や熱はなく食欲もあります。腹痛はたまに軽くある程度です。
もしかして子供の下痢は感染性のものでうつってしまったのだろうか、と思いましたが、ちょうど仕事でストレスを感じていたところだったので精神的なものにも思え、何とも言えない感じです。

1：下痢のみが続くという症状から考えられる病気はありますか？
2：もしウイルス性の胃腸炎だった場合、抗生剤が効かないので対症療法になるかと思いますが、抵抗力が落ちていたりして自力で治せない場合、有効な薬などはないのでしょうか。
3：(子供の場合)ミルクを牛乳に切り替えたばかりの子供がいわゆる「乳糖不耐症」のようになった場合、一旦牛乳をやめたり減らしたりする必要はあるでしょうか。