髄膜炎の可能性ありますか？

乳幼児/男性 - 2018/08/02

髄膜炎など、早急に受診する必要はありますか？

4日前 高熱のため受診 抗生物質処方
3日前 高熱続くが元気
2日前 熱下がる
1日前 登園 疲れている様子だが元気
今日 朝の分で抗生物質飲み終わる、園から帰宅後疲れている様子で寝そべったり眠そう、食事はいつもの量食べる、その後、後頭部(うなじの上)が痛いと言い出す、嘔吐、38度の熱

現在は嘔吐から二時間ほど経っていますが、それ以降嘔吐はないです。
嘔吐後はお腹が減ったのが軽食を食べ元気はありましたが、時間が経つとまた眠そうに寝そべっており、ゴロゴロすると寝てしまいました。

頭が痛いというので、髄膜炎が怖いです。