赤ちゃんの咳について睡眠時間について

乳幼児/男性 - 2018/08/16

お世話になっております。
もうすぐ2ヶ月になる赤ちゃんのことで心配なことがあります。
１、乾いた咳が1ヶ月検診ごろから時々あります。一日に数回。熱は朝、晩測ってますが平熱です。鼻水は泣いた時に出てきて、固まる程度で、目やになどは出ていません。1ヶ月検診時に咳のことを伝えると、赤ちゃんだって咳ぐらいするよと言われ、確かに風邪じゃなくても、咳き込む？ことは大人でもあるし、そうゆうことなのかとみていました。ずっと何分も続くなどはなく、毎回2、3回の咳こみ？みたいな感じで、コホコホとします。
どのような咳だと熱が伴わなくても医者に行かなければいいのか、熱が出ていなければ、とりあえず問題ないのか教えてください。
２、現在母乳主体の混合です。
寝る時や母乳が足りない時日中少し程度のミルクを飲んでいます。
2日前から少し便が下痢に近いのですが、赤ちゃんの下痢は様子をみても大丈夫でしょうか。
3、ミルクや母乳で寝入っても、手のビクッとした動きで目が覚めてしまい、日中、夜を含め、しっかりとした睡眠が取れていない状態です。眠そうな顔をしていても、なかなか寝ずずっと抱っこ、そっと寝かせ、寝たかと思ったら手の動きでまた目を覚ますの繰り返しなのですが、睡眠時間が少なくても赤ちゃんは大丈夫なのでしょうか。
4、赤ちゃんを抱っこ後寝入ったので横になろうとそっとそのままの体制で一緒に横になろうとしたさい、赤ちゃんの頭が少し勢いよく動いたのですが、上から下へ。
この程度では脳震盪などは起きないでしょうか。脳が揺れたりしていないでしょうか。

長文ですいません、よろしくお願いします、