子供の咳が長引く 喘息？

乳幼児/女性 - 2018/08/27

いつもお世話になっています！今日は4歳の娘のことで相談させてください！

約2週間前ほどから咳が出ていて、１週間前小児科へ。
両親ともアレルギー持ちだから喘息の可能性もあるとのことで、
メプチンシロップ0.005
アスベリン
カルボシステイン
ホクナリンテープ
が処方されました。

メプチンが入ってるのでホクナリンテープは貼っていないのですが、もらって服用した日くらいから寝入り端や夜間に30分ほど咳き込むことが毎日あります。
昔から鼻水が酷くて夜間咳がひどいことはあったのですが、今回は咳のみの症状です。
吐きはしませんが吐きそうになるほどの咳き込みです。

昨年
ヘルパンギーナ
肺炎
マイコプラズマ
副鼻腔炎とたてつづけになりました。

今年の3月にアレルギー検査をしましたが
アレルギーはなく、Ｉｇｅ17でした。

今は上記の薬とキプレスを服用していますが改善がありません。
この症状は喘息でしょうか？
本日他の小児科に今までの経過を話し、同じような薬をいただきました。
吸入薬は頂かなかったのですが、処方してもらったほうがよさそうですか？
日中も咳は出てますがひどくはありません。

あと、プールを習っているのですがプールは休まなくても大丈夫でしょうか？

長くなってしまいましたが、やはり喘息の可能性が高いでしょうか？
ご回答よろしくお願いします。