長引く咳、どんな病気が考えられますか？

乳幼児/男性 - 2018/08/28

8月2日ごろから、息子2歳が何度か38度くらい発熱し、10日ごろから激しく咳が出るようになりました。特に寝ている間に咳が激しく、何度か咳きあげで吐きました。熱は数日で下がりましたが、未だに咳が治りません(嘔吐する程の咳ではないですが)。
また、8月11日からは私(母親)、18日からは父親にも感染しました。
息子と同様、最初に38度5分くらいまで発熱し、その後、未だに咳が止まりません。
家族全員で何度か内科を受診しましたが、夏風邪ではと言われ、咳止めを処方されて様子見しています。
なお、何度か受診した際、最初は喉が赤かったものの、今は喉が赤くないそうです。
家族3人とも、こんなに長く咳が続くのは初めてで、本当に夏風邪なのか疑問に思い始めました。
もう一度、違う病院にも行ってみようかとは思いますが、その前に、皆様のご意見をお伺いしたいです。

【質問】
1. 本当に夏風邪でしょうか？
夏風邪ではない場合、どんな病気が考えられますか？
2. 何科を受診すると良いでしょうか？