解熱後に咳が出始めました

乳幼児/男性 - 2018/09/26

１歳３ヶ月の息子の体調不良について。
9月21日（金）のお昼に３８度の熱があり、夕方３９度近くに上がり、小児科に行きました。その時点では熱以外の症状はありませんでした。
恐らく突発性発疹ではないかとの診断で、夜座薬を入れました。
翌日（9月22日 土曜日）熱は３８度から３８.5度ほどに。
9月23日 日曜日→日中は３７.3度ほどで就寝後３８.5度に上がる
9月24日 月曜日→1日中37度ほど
この日までは熱以外の症状はなく、食欲は控えめ。機嫌は悪い。
9月25日 火曜日→夕方までは３６.８度ほど。
夕方から咳が出始める。21時頃就寝。就寝前は３７.３度になる。就寝後１時間ほどで起きてきて授乳をするが寝付けず咳が目立つ。その後寝付いた後も喉がゴロゴロ？鼻がグズグズ？何かが鳴っている音がする。

そこで質問させていただきたいのですが、
１.今日現在発疹が出ておらず、突発性発疹の可能性は低いでしょうか？

２.一度解熱したのにその後、咳が出始めるということはあるのでしょうか？

３.最初に発熱した日の前日に、習い事で隣にいたお子さんがものすごい咳をしていました。ウィルスの種類にもよると思いますが、翌日に感染するということはありますか？

おいそがしいところ恐縮ですがご回答いただければありがたいです。

よろしくお願いします。