小児科と耳鼻科どちらを受診する方がいいでしょうか？

10歳未満/男性 - 2018/12/18

４歳の男の子です。
１週間ちょっと前ぐらいから黄色い鼻水が出てきました。
量はそこまで多くはなく、たまに出る。くしゃみをしたらドバっと出るという感じでした。
しかし、終わってきたと思ったら一昨日ぐらいから夜中に数回咳をしだして、昨日からは痰絡みの咳をしだして夜中も5～6回ぐらいしてしんどそうでした。
朝起きて痰を吐き出したら少しスッキリするものの、まだやっぱり咳が出ます。
くしゃみと同時にまた黄色い鼻水がドバっと出ました。
１…この場合は小児科と耳鼻科はどちらを受診したらいいでしょうか？
小児科の先生は風邪では抗生物質は出さない先生で、今までの感じで言うと咳止めも止めない方がいいのでださず、痰切りぐらいです。
耳鼻科は鼻水が黄色いのが多く出ている時は抗生物質をだす先生で、少ない時は出さない時もあります。
ほとんどが、アレルギーの鼻水の薬と咳止め、痰切りを出されます。
どちらの方がいいでしょうか？
２…あと、小児科の場合は熱や嘔吐がある子は違う部屋にいて、予約制なので待合室に二人ぐらいしかいつもいません。
耳鼻科は大人が多いし、マスクもせずに咳をしている人もいます。
今インフルなどが流行って来ているために貰ってしまうのが嫌で、どちらの方が確率が高いとかはありますか？
どちらも同じでしょうか？

よろしくお願いいたします