生後10ヶ月の子供の咳の薬について

乳幼児/男性 - 2018/12/25

生後10ヶ月の子供です。（登園はしていません）
1ヶ月以上前から鼻水がとまらず、処方された薬をずっと飲ませていましたが、良くならなかったため、今は飲ませるのをやめてしまいましたが、先週から咳が出るようになり、夜中も寝ながら咳をしていることがあります。
熱はなく、ずっと咳をしているわけではないのですが、だんだん咳の回数と音が変わってきたので（少し痰が絡んだような咳になってきた）病院に連れて行ったのですが、処方された薬が、痰や鼻水を出しやすくする飲み薬（ムコソルバンとムコダインのシロップを混ぜたもので、以前飲んでも改善しなかった）と、ホクナリンテープでした。
薬局で、飲み薬に咳止めが入っているか聞くと、入っておらず、ホクナリンテープが咳止めだと言われました。
ホクナリンテープは喘息などの方が気管支を広げて呼吸を楽にする薬だと思うのですが、子供の咳にも適応するのでしょうか。
またこの薬だけで咳はよくなりますでしょうか？
飲み薬で処方してほしいと言わなかったのですが、一般的にはどのような薬が処方されるのか教えていただければと思います。宜しくお願い致します。