1ヶ月以上咳が治りません。

乳幼児/女性 - 2019/01/04

1歳2ヶ月の女の子です。
2018年12月10日頃から咳が出て、夕方から夜中に38.7〜39℃の高熱が４日間続いて、
小児科からは抗生物質と液体の咳止め（ベロテックシロップ0.01% カルボシステインシロップ5%「タカタ」アスベリンシロップ0.5%）
を５日分処方され、5日目の12/14には熱は下がりましたが、約1ヶ月たっても咳が治りません。

12月28日に小児科を再受診した時に、先生から喘息かもしれないと言われていて、現在咳止め一日3回と寝る前にモンテルカスト細粒4mgを服用してますが、改善されません。
昼間より夜の方が咳が多く、夜は加湿した部屋で布団の上下にタオルを敷いて上半身を少し高くして寝ていますが、夜間も4回ぐらいは回咳き込んで起きるので、熟睡できないのがかわいそうです。
熱もなく、食欲もあり鼻水はまだ出てますが、基本的には元気です。
一日も早く咳と鼻水が良く治るようにアドバイスよろしくお願いします。

1.いまより症状が改善されるお薬は他にありますか？
あれば教えて頂きたいです。
2.今の症状は喘息でしょうか？
3.レントゲンなどを撮ってもらったほうがいいのでしょうか？
4.12月25日から耳鼻科で頂いたフロモックス小児用細粒とムコダインDS50%を1日3回5日間飲ませましたが、まだ少し色のある鼻水が出ています。家では鼻水が出たら、その後吸引したりしています。
また抗生物質を飲んだ方がいいでしょうか。
アレルギー鼻炎の可能性はございますか？

以上よろしくお願い致します。