赤ちゃんの咳について

乳幼児/男性 - 2019/04/24

0歳11ヶ月の息子です。
2週間ほど前から鼻風邪でしたが、先週月曜に耳鼻科で鼓膜がすこし赤いといわれて抗生剤を飲んでいます（今日で無くなります）。
鼻水はメルシーポットで吸ってもほぼ出なくなりましたか、一昨日あたりから、痰がからんだような咳をときどきします。昨夜から回数が増えてきました。夜中も何度か咳をして寝苦しそうです。気管支炎でしょうか？
薬が無くなるので、午後にでももう一度病院に行こうと思うのですが、再度耳鼻科に行くべきでしょうか？小児科に行くべきでしょうか？

ちなみに熱は風邪の引き始めからはずっと、微熱かな？平熱かな？というような微妙なラインです。普段は36.8℃〜37.0℃あたりですが、ときどき37℃台前半です。37.5℃以上は出ていないです。