薬がなくなると咳が出始めます。

30代/男性 - 2019/05/23

３月中旬に風邪？を引きその後良くはなったのですが、咳がひどく（とくに夜寝る前の咳がひどい）鼻水も黄緑色のものが出ていたので、呼吸器内科を受診しクラリスロマイシンやフルティフォーム125エアゾールなどを２週間分処方していただきました。

すべての薬が終わると良くはなりましたが軽い咳が出始めてきました。
４月半ばに再受診すると薬をもう少し続けたほうが良いとのことで、GWの連休もあるので１ヶ月分処方されました。このときはオルベスコ200が処方されました。（前の吸入薬で嗄声があったため）
１ヶ月間咳は出なかったのですが、薬が終わり一週間ほど経った現在また咳が出始めてきました。

１喘息の薬を吸入して症状が良くなっているので咳喘息で間違いないのでしょうか？
２咳喘息は２ヶ月以上も薬を使用しても治りにくいのでしょうか？
３他の呼吸器内科もしくは他の科を受診するべきでしょうか？
それとも同じ呼吸器内科へ行きもう少し薬を続けるべきなのでしょうか？

アドバイス宜しくお願いします。