3歳の男の子、咳が1ヶ月半ほど続く

乳幼児/男性 - 2019/08/21

3歳の男の子。咳が1ヶ月半ほどよくでます。
はじめは夜だけ特にひどく、小児科で去痰剤を処方していただきました。
一週間後もあまり変わらず、どちらかというと日中も咳をよくし始めたので、去痰剤+咳止めを頂きました。聴診器での胸の音は悪くないが、胸の音は悪くないイコール肺が悪くないわけではない、とのことでした。
外出しているときのほうが落ち着いていて家の中の方が咳が酷い気がして空気清浄機を新調したりしたのですが、症状はかわりません。
毎日ひどいわけではないのですが、夜も日中もずっと咳→日中は落ち着いてるが夜咳をする日→夜も日中も落ち着いてる日など、バラバラです。
どのような病気が考えられますか。総合病院への紹介状を書いてもらい、受診すべきでしょうか。
また、日本脳炎の予防接種2回目をまだ受けておらず、今はまだ受けない方が良いでしょうか。