手に内出血のような赤い点々がある

乳幼児/男性 - 2019/09/23

手に内出血のような赤い点々があります。
今のところ右手のみです。
右手の手のひら、手の甲、指の間、手首にあります。

長文で申し訳ないですが確認お願いします。

もともとここ数ヶ月、ずっと咳が止まらず、病院に通ってますが、ここ1週間は体調が悪いです。
14日（土）予防接種(風疹·麻疹、おたふく、水痘)
15日（日）特に症状なし
16日（月）朝咳き込んで吐く
17日（火）特に症状なし
18日（水）発熱。朝37.8→昼寝後38.6→夜寝る前38.4
19日(木)発熱。朝37.9→昼寝後37.9→夜38.6→夜寝る前39.0→夜中39.7(座薬使用)
20日(金)発熱。朝6時38.7→病院9時頃38.3→病院から帰ってきて11時頃38.7℃→お昼寝前39.7(カロナール服用させる)→昼寝後38.6→寝る前38.6
ご飯いつもより食べない。
お昼いつもの3分の1。夜いつもの3分の2。
9月21日（土）お熱下がってくる。
朝37.5→昼36.4→夜37.0
ご飯いつもの4分の3くらい。
9月22日（日）熱下がる。1日37.0くらい。ご飯いつもの4分の3くらい。
9月23日（月）発熱？朝7時37.7→朝9時37.0
ご飯はいつもの4分の3くらい。
手に赤い点々があるのに気づく。
虫刺されとなではなく、内出血みたいな感じ。

何かの病気でしょうか。
今日病院休みなので心配です。
本人は元気なので救急に行くほどではないのかな？と思い、こちらに質問させて頂きました。
·病気の可能性があるのか。
·あるなら何の病気なのか。
·今すぐに病院に行くべきなのか。
·病院に行くなら大学病院で大丈夫か。
以上の4点回答頂けると有難いです。
よろしくお願い致します。