アレルギー性鼻炎と副鼻腔炎と咳について教えて下さい

10歳未満/男性 - 2020/01/23

９歳男の子です。
18日前から咳があり、17日前にインフルエンザAになりました。
アレルギー性鼻炎があり数年前よりアイピーディドライシロップとアレロック、カルボスチン、ナゾネックス点鼻とリポスチン点鼻を常用し、インフルエンザ後はキプレス、アンブロを追加で飲んだりしましたが咳は続き2～3日前から酷くなったので耳鼻科に行きました。
今回は交通事情もあり初めての病院に行きました。
レントゲンをとると少し白くなっておりクラリスとせきどめをもらいました。先生の口振りではクラリスはこれくらいの副鼻腔炎に対しては出さないけど気管支炎にも効くから出すような感じでした。また、子供はあまりレントゲンで診断をしないようなことを言ってましたが、息子の場合、所見ではわからないがレントゲンをとると白くなっていてクラリスをもらうと改善することがよくあります。
痰が絡んだ咳(寝てる時など喉でひびくような時があります)がいつも酷くなり困っています。
質問ですが
1 少し白いだけの副鼻腔炎でしたらクラリスは出ないのでしょうか。
2 少し白いだけの副鼻腔炎では咳が酷くなることはないのでしょうか？
3 クラリスを今回は3錠一週間分もらいました。先生によっては1錠一週間のこともあり、1錠は長期服用の場合だと思いますが1錠でも大丈夫なのでしょうか？
4 副鼻腔炎を繰り返すので長期服用した方がいいのかなと思いますが一週間で大丈夫でしょうか？最近は8月くらいから3～4回目だと思います。
5 子供はレントゲンで副鼻腔炎の診断をしないのでしょうか？
6 今回は咳をしたあと少し血の味がすると言うことがありますが大丈夫でしょうか？
7 咳が酷いのは咽頭アレルギーの可能性もありますか？咽頭アレルギーだと所見でわかり先生がおっしゃいますか？
よろしくお願い致します。