突発性発疹かも。抗生剤を処方されました。

乳幼児/女性 - 2020/02/13

11ヶ月女児、産まれて初めての発熱です。
よろしくお願いします。

一昨日の11日の19時発熱を確認。38.7
昨日12日に下がり37〜36.8くらい 機嫌よく元気。
夕方に再度発熱。夜中機嫌が悪く39.9まで上がったので解熱剤。熱は少し下がるも機嫌がずっと悪いです。泣きすぎたかおっぱい飲みすぎたか一度大量に嘔吐。
今朝も39度台だったので、受診すると突発か風邪かとのことで抗生剤を出されました。
家に帰って気づいたのですが、お腹、背中に赤い小さな発疹がうっすらありました。まだ熱はあります。

解熱してなくても発疹、この場合も突発性発疹でしょうか。
また抗生剤の服用は必要でしょうか。耐性菌など副作用など怖くて…できれば飲ませたくないです。