４８歳　男性　発熱なし　咳嗽ひどい

何らかのウィルス性の風邪症状なのだと思いますが、臨床症状から新型コロナウィルス感染症と一般的な風邪症状、インフルエンザ罹患症状との区別をつけることは困難です。
風邪は様々な病原体が原因となって生じる呼吸器を中心とした炎症性疾患です。
代表的な病原体は従来型コロナウィルスなどのウィルスです。
従来から存在しているコロナウィルスには風邪を引き起こすものが4種類あり、いわゆる風邪の10〜15％（流行期35％）の原因を占める病原体です。
症状は類似しており、新型コロナウィルス感染の場合においてより症状が重篤化しやすいという事のみに差異があります。
また、新型コロナウィルス感染症とインフルエンザ感染症の免疫反応は極めて類似していることも確認されています。
現時点で日本国内では市中感染が蔓延している状況ではありませんので、積極的に新型コロナウィルス感染症を疑う状況ではないと思います。
ウィルス感染症に関しては風邪薬で治るものではなく、あくまでも自分の免疫力で治ってくるものです。十分な水分・栄養補給、十分な睡眠・休息が免疫力を向上させます。

コロナウイルスではないと証明する方法は存在しないため、可能性はありえるとおもって、
行動することは必要とおもいます。
現在の息苦しさが肺炎や気管支炎など、炎症にもとづくものなのか、

感染症を誘引として喘息発作を起こしている可能性もありえます。

喘息発作であれば、ベータ刺激薬の吸入で症状が軽減するため
呼吸器科で相談するのがよいとおもいます。

コロナウイルス感染が否定しきれないため、いきなりの受診ではなく、
熱はないが咳が続く、、ということをあらかじめ電話でお話ししてから、
受診すべき時間帯などで、病院側で患者さんの区別をしているならそれに従って受診ください。

ご家族の症状は通常の風邪としては経過がやや長いものの、快方に向かっているなら経過観察で良さそうです。

ご自身については無熱で目の痒みが強いなら、どちらかと言えば花粉症の印象です。
室内と屋外、晴と雨など、環境で症状が変化しないでしょうか？
現在は具体的にどのような薬を処方されていますか？

発熱していないなら少なくとも新型コロナウイルス感染は関係ありません。
鼻症状があり咳が出ていたなら喉頭アレルギーによる咳の他にも副鼻腔炎による咳の鑑別が必要になってきます。
耳鼻咽喉科を受診しましょう。

喘息の既往症も有れば他の呼吸器内科で検査も含めて詳しくお聞きした方が良いと思います、その上で肺のレントゲンやCTの確認で薬も変更でいいかを詳しくお聞きした方が良いと思います

コロナウイルス感染症を強く疑う状況ではありません。熱は現在ないということでしょうか。咳が長引いており悪化しているようですので、呼吸器内科の受診をお勧めいたします。

症状経過は、風邪を考えますのでうがいして水分補給し安静にしてください。花粉症はあるようで、喘息や副鼻腔炎の可能性はあり、内科受診を勧めます。

咳症状が全くよくなくならず、どんどんひどくなり呼吸も苦しくなって来ているようです。とのことですから、保健所に相談されてもいいと思います

呼吸が苦しいのであれば、別の呼吸器内科で相談したほうがいいと思います。