包丁で指に切り傷。病院へ行く必要ありますか。

40代/男性 - 2020/05/13

昨晩左手中指を包丁で切りました。コの字形に削ぐように切っており、傷の大きさは1センチ程度です。ちょうど魚の鱗のような形です。
すぐに右手親指で傷を強めに押さえて止血し、10分ほどで出血のスピードは遅くなり、40分ほどで完全に止血しました。今朝になってもドクドクした痛みがあるのですが、病院へ行った方がよろしいでしょうか。病院では痛み止めを処方される程度でしょうか。