3ヶ月続く痰がらみの咳

10歳未満/女性 - 2020/05/18

来月6歳になる娘についてなんですが、3ヶ月程前から痰がらみの咳が止まりません。
1日中つねに出てるわけではなく、特にひどいのは起床時です。
日中もはしゃいだりすると咳き込み、痰が出せない為、お茶を飲ませて流し込ませてる状態です。
この3ヶ月間に耳鼻科、小児科は何度も受診し、その都度薬を処方してもらい飲ませてますが、まったく治る気配がありません。
また、3ヶ月間に熱は一度も出てなく、基本元気で食欲もあります。
鼻水は垂れてくる事はなく、自宅にある電動吸引でこまめに取ると、透明な少し粘りのある鼻水が取れます。
耳鼻科でレントゲンも撮りましたが、副鼻腔炎にはなってない様で、耳や聴診器にも異常はありません。
今まで飲んでる薬は、カルボシステイン、プルスマリン、オノン、ツムラ104、ツムラ29です。
飲みにくい漢方も毎日飲んでるにも関わらず、一向に治らないのが可哀想で、早く治してあげたいのですが、この症状は体質とかでなかなか治らないのでしょうか？
もともと風邪を引くと痰がらみの咳が残りやすい娘でしたが、いつも2～3週間くらいで完治してました。
この症状には、何科の受診で、何を処方してもらえば良いのでしょうか？
宜しくお願いします。