傷病手当金受給中の転院について

20代/女性 - 2020/08/06

現在精神疾患により休職中で、傷病手当金を受給しています。
このまま8月末で退職し、退職後も継続して受給することを考えております。

退職に伴い引っ越しのため転院が必要なのですが、転院のタイミングで迷っています。
私が考えているのは、
１、8月中旬に転院先の病院で初診を受けて、転院先では9月以降の傷病手当金請求書を書いてもらう
２、8月下旬に現在通院している病院で8月分の傷病手当金請求書を書いてもらう
という流れなのですが、それだと、転院先で初診を受けた後にもう1度現在の病院に通院することになり、2重で通院しているような期間ができてしまいます。

このような方法は認められないのでしょうか。
転院先に傷病手当金請求書の記載を断られてしまう可能性などもあるでしょうか。