突発性発疹の症状について

初めて投稿します。よろしくお願いします。

6ヶ月の子供が7月22日の朝から鼻水が出始め、昼過ぎに熱を出し38度超えたところで、受診しました。お医者様は「のどが少し赤いですね、(上の子も鼻水をたらしていることを伝えた後)風邪がうつったと思われます。」ということでした。解熱剤と、抗生物質、鼻水咳止めのシロップをもらいました。
晩に体がひどく熱いので熱を測ると39度4分でした。解熱剤(座薬)を入れると38度4分まで下がり、朝までよく眠りました。
座薬を入れることに疑問を感じ、翌日・翌々日は39度3分でしたが、食欲があるのでシロップと抗生物質だけ飲ませ、座薬は入れずにすごしました。しんどそうでしたが、ヒエピタや、わきの下の冷却、水分補給でぐずることもなく寝ていました。このころから下痢気味になりました。
7月25日朝には、熱37度4分に下がり、晩には36度8分まで下がりました。熱が下がるとともに発疹がオナカと背中、特に顔全体に広がりました。3日間の高熱と、発疹で、突発性発疹だったのかなと思いました。この時点で再度受診はしていません。
7月26日熱は平熱の36度6分でしたが、発疹がひどく、まだ下痢、鼻水と少しの咳が続いていました。
7月31日までには発疹と下痢の症状が消えましたが、8月1日現在鼻水が始終たれていて、時々くしゃみと咳が出ています。眠っている間の咳はありません。
発疹が出たところで、再受診すべきだったと反省しています。

余談ですが、上の子の鼻水は収まりましたが、起き抜けに痰の絡んだような咳をします。

以上のような経過で今日に至りましたが、質問は
・突発性発疹(私の思い込みですが)でも咳や鼻水が続く場合、再受診したほうがよいのでしょうか?
・再受診の場合、施設の整った大病院で見てもらうほうがよいのでしょうか?

以上、未熟な母の小さな質問ですが、よろしくお願いいたします。

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