生後半年、4日前から熱があり、発疹が出ました。

乳幼児/男性 - 2021/05/18

生後半年の男の子です。
15日の土曜日深夜に39度近くまで熱が出ました。
翌朝には37.6まで下がり、以降今日まで朝には36度台に下がっているものの夕方からは熱が39度超えるくらいまで上がるのを繰り返しています。
咳と鼻水も出ています。

今日の午前中には画像のような発疹が出ました。
午前中に小児科に行ったところ、このまま発疹が広がってもう熱が上がらなければ突発性湿疹だろうと言われましたが、残念ながらまた今日の午後も熱がでてきてしまいました。。

やはり突発であれば、発疹が出た後には熱は上がらないのでしょうか。
突発でないとすれば、どんな病気も可能性があるのでしょうか。
ちなみに4/19にうけたbcgにあとは腫れてます。