発熱しない突発性発疹ってありますか？（写真あり）

乳幼児/男性 - 2021/06/11

もうすぐ2歳になる子どもの相談をさせてください。
4日前→透明な鼻水、たまにくしゃみが出る
（耳鼻科を受診してお薬をもらいました）
3日前→白や黄色っぽいどろっとした鼻水、少し咳も出始める。（1時間に一度程度）
2日前→鼻水は垂れるより固まって詰まる感じ、少し咳。
1日前→症状変わらず。夜中寝られず起きる。
今日→症状変わらずだったが、夕方より咳の回数が増える。（10〜15分に一度程度）一度咳が出ると5回〜10回くらい続けて咳が出る。お風呂に入るときに背中に発疹のようなものを見つける。

このような経過で、休診日以外は毎日受診して吸引していただきました。熱は一度も出ていないのですが、背中に発疹のようなものが出たので、突発性発疹なのかなと思いました。熱が出ない突発性発疹もあり得るのでしょうか？もし突発性発疹ではない場合、背中の発疹の原因は何でしょうか？
また明日も受診するつもりですが、いろいろな先生方のご意見を伺いたいと思い、質問させていただきました。よろしくお願いします。