明け方の咳込みで困っています

乳幼児/男性 - 2021/07/04

2歳8か月の子どもです。6月から風邪をこじらせていて、もう1か月咳をしています。日中はほとんど咳をしないのですが、クーラーなど寒い部屋に入った時、走った後、夜中、特に明け方の咳込みが激しいです。明け方は何回か咳をすると落ち着いてまた寝ます。
鼻水が酷かったので、耳鼻科に2週間前から通っていて、キプレス細粒を就寝前に一回服用するようにしています。
鼻水の症状は収まったのですが、キプレスを2週間飲み続けていても咳混みが全く治る気配なしです。
長い間風邪が長引いているので蓄膿による後鼻漏か気管支嘆息などになっているのではないですかと質問したのですが、2歳ではまだ判断できないし、肺の音を聞いたときにまだひどくないので、自力で治せられると思うからこれからもキプレスを飲み続けてくださいと言われました。
そこで質問なのですが、このまま耳鼻科の先生を信じてキプレスだけを飲み続けてよいのかどうか。他に薬を追加しなくてよいのか。（家にはツロブテロールテープがあるのでそれを併用して貼ってもよいのか）
それか喘息のことだったら、小児科へ通った方がよいのか。
1週間後にまた耳鼻科へ受診することになっています。
すみません、ご意見お聞かせください。