抗生剤について（発熱と湿疹）

10歳未満/男性 - 2021/07/25

8歳の喘息持ちの息子が、昨日40度近くの熱を出しました。発熱外来のクリニックで診てもらい、セフジトレインピボキシル錠100とアセトアミノフェンを処方してもらいました。（症状は発熱、頭痛、喉が少し痛いでした）
昨晩、カロナールで37度台に下がりましたがその後また40度近く上がったため本日総合病院の小児科で診てもらったところ、手足に湿疹があるため手足口病の疑い、と診断されました。しかし口の中にまだ湿疹がないことからまだ断定はできない、とのことでした。
クリニックで処方してもらった抗生剤は手足口病には効果がないので、飲み切ってもいいしやめてもいい、と言われました。

息子は抗生剤を飲むのが苦手なので服用をやめる方向で今日は飲ませていません。
しかし、はっきりと手足口病と断定されていないので、抗生剤は飲み切った方が良いのでしょうか？
（息子はよく溶連菌になるのでその可能性も少しはあるなら服用したほうが良いでしょうか？写真の湿疹は溶連菌の可能性はないと思ってよいですか？素人判断ですが、舌がぶつぶつしてる気もします。
今息子の熱は37度台で喉の痛みもなく落ち着いてきてます。咳は少し出てます。）

質問は抗生剤を2回服用してる状態でやめるより今更ですが飲み切るほうが良いのか？
（すでに本日の朝と昼分は服用してない状態です。）
また溶連菌の可能性はあるか？を知りたいです。

どうぞよろしくお願いします。