3歳(11ヶ月)の子供、咳が1ヶ月以上出てます

10歳未満/女性 - 2021/09/16

3歳(11ヶ月)の娘(次女)の咳が1ヶ月以上出ています。(今日まで一度も発熱はありません)小児科や耳鼻科にも行き、薬を処方されているものの、咳がとまりません。これと言った病名を言われず、また薬も飲み続けており心配なのです。疑わしい病気等をご教授いただきたいです。
今日に至るまでの症状は以下の通りです。
1週目→乾いた咳をし始める、就寝後は咳なし。(小児科Ａ:処方薬:アスベリン、カルボシステイン)

2週目→昼夜問わず乾いた咳、就寝後も起きてしまう程。(小児科Ａ:処方薬:アスベリン、カルボシステイン)

3週目→日中は痰が絡む湿った咳、くしゃみのタイミングで鼻水がでる、就寝後は時々咳き込む。(耳鼻科Ａ:処方薬:ケトチフェン、カルボシステイン、プランルカスト、トスフロキサシントシル酸塩細粒、ビオフェルミン)

4週目→ 日中は痰が絡む湿った咳(前週よりは落ち着いた)、就寝後は咳なし。(耳鼻科Ａ:処方薬:混合薬「カルボシステイン、プランルカスト、アスベリン」ツロブテロールテープ)

5週目→起きている間は乾いた咳、就寝後は咳なし(小児科Ｂ:処方薬: 混合薬「カルボシステイン、ゼスラン、アスベリン、」ツロブテロールテープ)
※補足※
咳チックの可能もあると言われる

6週目→咳払いを朝夕にする、くしゃみで鼻水がでる、就寝後は咳なし。(小児科Ｂ:処方薬: メチエフ、アスベリン、蒸気が出る吸入器の中に「クロモグリク酸Na」「メプチン」を入れ吸入)

7週目(現在)→前週より軽い咳払いを朝夕にする、くしゃみで鼻水が出る。就寝後は咳なし。

補足情報
3週目頃に長女(10歳)、長男(1歳)、父、母にも痰が絡む咳の症状がでるも、病院で処方された薬で症状が改善されています。