新生児、昨日から咳がでます。

乳幼児/男性 - 2021/10/06

9/8に男の子が産まれました。里帰りを経て、9月の末に自宅に帰ってきました。
夜泣きぐらいで、ミルクもよくのみ、おしっこ、うんちも問題なくやってくれる子なんですが、昨日の夕方から、急に咳をするようになりました。咳は、すこし痰がからんだような乾いた咳と昨日は、呼吸時にゼーゼーという呼吸をしていたので、救急病院につれていき、体重、酸素濃度、のどの炎症、腹部の触診などを行ってもらい、酸素濃度、炎症もなく、きれいに呼吸をしているという診断で帰ってきました。今朝、昨日より咳の症状がひどくなったような気がしたので、近所の小児科へ連れていき、昨日と同じような診察を行ってもらい、問題なく、まだ新生児で、体が出来上がってないので、慎重に見ていく方がいいけど、ミルクも飲み（毎回100ml）、おしっこ、うんちも問題なくしているので様子を見ていきましょう
と帰ってきました。
新生児なので、だせる薬もなく、これといった治療はできない状態ですが、子供が寝ていても咳で起き、見てるだけでかわいそうで仕方ないです。
このまま様子をみていいものなんでしょうか？またこういうことは新生児であることなんでしょうか？ネット検索すると、風邪、肺炎、気管支炎、小児喘息、百日せき等が記載があり、初めての育児で不安でしかありません。

このような治療できない状態の場合、どうすればいいでしょうか？またマシになっていくのでしょうか？