長引く鼻水に抗生物質は必要ですか

乳幼児/男性 - 2021/12/29

1歳０ヶ月の男児がおります。

12/9より鼻水が大量に出て鼻詰まりが起こるようになりました。
おそらく人生初めての風邪の症状です。

特に鼻水以外の症状がないため一週間様子を見ましたが改善せず小児科へ。
ザイザルシロップを5日分処方され飲み切りましたが症状変わらず。
発症より11日後の12/20に耳鼻科へ
特に異常なしとのことで小児科と同じザイザルシロップ処方。

発症より13日後から鼻詰まり鼻水ともにかなり快方に向かいこのまま収束するかと思いきや、発症から19日後の12/28また大量の鼻水と鼻詰まりが起こるようになりました。
本日小児科へ行きましたが、最初に罹った小児科が年末年始休みのため初めて行く小児科で、吸引してもらった鼻水の色で薬を決めるとのことで、黄色い鼻水だからと、
抗生物質セフジニル細粒小児用0.5g
アンプロキソール塩酸塩DS小児用0.4g
それぞれ5日分と、
熱が出た時にとカロナールを処方されました。

鼻水以外の症状はずっと無く、鼻詰まりで起きてしまう以外は食欲もあり元気です。

保育園は通っておらず外出は近くのスーパーくらいなので別の風邪がうつったとはあまり考えられません。

最初の発症から3週間ほど経っているので早く改善してほしいですが、最初にいった小児科、次の耳鼻科でも抗生物質は処方されなかったので抗生物質まで飲む必要があるのか少し疑問です。
鼻水以外は至って元気なのでこのまま抗生物質は飲まずに様子を見たほうが良いでしょうか。