2歳の子供、細菌性上気道炎と突発性湿疹に同時に罹ることはありますか？

乳幼児/男性 - 2022/05/22

2歳の子供ですが、1週間前くらいから鼻水があり、3日前に発熱で保育園を早退しました。最高で39.5℃、鼻水、不機嫌、排便なしでした。

2日前、病院で検査の結果、ウィルス性ではなく細菌性の上気道炎と診断され、抗生剤を処方されました。最高で39.6℃、鼻水、やや不機嫌、軟便でした。

昨日、38.0℃、鼻水、機嫌は普通、軟便でした。

今日、37.0℃、鼻水、機嫌は良好、下痢が2回。夜になって、顔、首などの上半身、背中に少し赤い発疹が出てきました。

突発性湿疹でしょうか？
細菌性上気道炎と同時に罹ることはありますか？
処方された抗生剤があと1.5日分残っているのですが、飲み続けた方が良いのでしょうか？

なお、食事や水分は摂れています。
これまでに突発性湿疹を発症したことはありません。

よろしくお願いいたします。