2歳4ヶ月の子ども、アデノ？川崎病を心配しています。

10歳未満/男性 - 2022/08/23

2歳の男の子、8/15夕方から急にぐったりして38.6℃、発熱。左首痛がる。
8/16 39℃代の熱、左耳の下が腫れてきている。この日から手足の先が痛いと訴えてくる。
鼻水や咳などの風邪様症状ない。
8/17 小児科受診、夏風邪で扁桃腺も少し腫れてるとのことでトランサミンを処方された。8/18までは38℃〜39℃の発熱があった。
8/19 37℃後半〜平熱を行ったり来たり。首の腫れは落ち着いてきた。
〜8/21まで37℃前後。
8/20から両目結膜の充血があるが、かゆみと目やになし。
いつもの発熱時より、活気がないような気がする。
8/21に再診、アデノウイルスでしょうと。
視診、触診のみで検査等なしでした。
熱がないからもう受診もしないでいいと言われ帰宅しました。

アデノウイルスの感染でも、目やにやかゆみなく充血だけのこともありますか？
充血も解熱後に出てくるものなのでしょうか？
また、再診時に川崎病の話をされましたが、なんの検査もせず、今回は違いますけどね、と言われたのですが…。
帰宅して調べてみると、不全型というものもあると知って心配になってしまいました。
今回診てもらった小児科の先生をかかりつけ医にしていましたが、いくつか不信感を抱く出来事があり、今回も信じきれていないところがあります。
信じきれてない先生にかかっても精神上よくないと気付いたので、かかりつけ医を変えようと思っていますが、いまのタイミングで変わると病気の経過途中となり変わった先の病院に迷惑かと思うと悩みます。

1、かゆみや目やにのない結膜充血はアデノウイルスなのか？
2、このまま川崎病かどうか検査せずにいていいのか、教えていただきたいです。
よろしくお願いします。