BCGの赤みについて

10歳未満/男性 - 2022/09/04

一歳一ヶ月の男の子の症状です。
生後五ヶ月のときにBCGを受け、その後の経過は特に問題ありませんでしたが、昨日から上部のみ赤みが見られます。
先々週の土曜に一日だけ37.5程度熱が出て、その日以降鼻水と咳が出ます。
先週の月曜日に小児科へ連れて行き、そのときは風邪という診断でした。
それ以降、熱は37度前後で発熱はおそらくありません。
鼻水と咳も先週半ばには一度落ち着きましたが、この週末で少しぶりかえしたようでまたひどくなりました。
本日、お風呂後にBCGの赤みが気になり、熱がないか体温をはかりましたが、37度でした。

BCGに腫れがあると川崎病の疑いがあるとネットで見たので、少し心配になりましたが、上記のような経過でその可能性はありますか？
明日朝イチに鼻水と咳もあるので、かかりつけの小児科に連れて行く予定ですが、その際に川崎病の件は伝えたほうがいいでしょうか？
また一ヶ月以上前から両腕に無色の小さい発疹があります。
今回の風邪とは無関係だと思っていたので、先日行った時に特に病院では伝えてなかったのですが、この件も併せて聞いたほうがよいでしょうか？

まとまりがなく、わかりづらい点があったら申し訳ありませんが、よかったらご回答ください。