5歳の子供、高熱が3日続き、解熱後発疹があらわれました。

10歳未満/男性 - 2022/10/25

5歳の子供についてです。
月曜日にインフルエンザの予防接種（1回目）を受けました。注射部分に少し痒みがありましたが、他に副反応と思われる症状はありませんでした。（今までも気になる副反応が出たことはありません）
また、最近乾燥からか肌がカサカサしており、お腹に痒みを訴えたので水曜日に皮膚科を受診し、皮膚炎の診断を受けました。（ヘパリンとロコイドを処方されました。今まで使用して問題があると感じたことはありません）

金曜朝に37.5℃の熱が出たため、家で様子を見ていましたが、夕方になり39℃まで上がったため、かかりつけの内科小児科を受診しました。
コロナ陰性熱以外咳や鼻水、頭痛や腹痛といった症状なし。身近に流行っている病気なし。（風邪をひいている子は園にいました）
熱冷ましのみ処方してもらい、内服しましたが、薬がきれると39℃をこえる状況が続いたため、日曜日に再受診。髄膜炎や中耳炎の所見は見られないとお医者さんに言われました。念のため抗生剤を処方してもらい、日曜日の昼から服用しています。

日曜日夜にようやく汗をかきはじめ、37.5℃。月曜朝には36.5℃までさがりました。月曜昼頃、今度は背中に発疹があらわれ、夕方には発疹が増えたように感じました。（写真あります）発疹について、本人は痒みはないとのことです。

これらの症状から、インフルエンザ予防接種の副反応や5歳ですが突発性発疹ということはありえるでしょうか？（突発性発疹と明確に診断されたことはありません）
また、現在は発疹のみの症状ですが、再度受診が必要でしょうか？
最後に、抗生剤の処方を受けていますが、のみきったほうが良いのでしょうか？（苦くて飲むのが辛いようです）
以上の3点についてアドバイスいただけるとありがたいです。よろしくお願いします。