2歳5ヶ月の子供、咳が1ヶ月以上続いてます

10歳未満/女性 - 2023/02/28

2歳5ヶ月の娘が1ヶ月以上前に発熱、2回小児科にかかり、コロナやインフルエンザの疑いは（両親が陰性のため）弱く、RSウィルスは陰性。
熱も4.5日続き（1日程度40度まだ上がり、あとは微熱）回復後咳だけ残っています。

薬も1週間程もらいましたが、嫌がり飲ませられない日もありました。

初めて発熱の症状が出てから半月くらいは風邪の痰が絡んだ咳をして、特に夜間止まらなくなる様な咳でかなり辛そうにしてたのですが、
その後日中は治り、けど夜寝ると何度か咳き込み起きてしまう状態が続いてました。

その後結局咳が完全に治ることは無く、先日また鼻水が出て、くしゃみをすると黄色の痰のような鼻水が多めに出たり、痰の絡んだような咳をするようになりました。
本人は食欲もあり、元気です。

以下質問です。

1.1ヶ月以上咳をしておりますが咳喘息を疑うべきでしょうか、（父親が咳喘息もち）もしくはまた新たに風邪に感染したのでしょうか

2.小児科より呼吸器内科を受診した方がよいでしょうか

3.本人食欲もあり、元気ですが小児科もしくは呼吸器内科を受診する目安を教えて下さい

4.咳止めの市販薬で、様子見ても良いのでしょうか

このまま咳が治らないと肺炎にならないか心配です。
ご教示の程よろしくお願いします。