9ヶ月女児　発熱について

乳幼児/女性 - 2023/03/19

いつもお世話になっています。
数日前から鼻詰まりがあり、機嫌が悪くお昼寝が多いことが増えていたのですが、昨日痰がらみの咳が多く気になり熱を測ったら37.8でした。少し薄着にしたら37.4や37.3だったので様子を見ていました。
今日の15時頃38度までいき、先程まだ37.8あり、咳き込みと共に連続して3回嘔吐しました。その前に食べた離乳食全て出た感じです。

そこでお聞きしたいことがあります。
1、グズグズしたのでカロナール シロップを飲ませましたがまた熱くなったらクーリングもしてあげたいと思います。冷やし過ぎも怖く、38度以上で辛そうな場合のみにするつもりですがどのようにすればよいでしょう。
ちなみに自宅には腿の付け根を冷やすグッズ、両脇を冷やすグッズがあります。両方やったら冷やしすぎでしょうか？
どちらかだとしたらおすすめの方はありますか？
2、どのサイトでも手足が冷たかったらまだ上がる、熱くなったら冷やす、となっており、上の子2人もそうしてきたのですが、ここ数日微熱がある時から現在までずっと足は暖かい〜熱めです。
お恥ずかしい話身体もおでこも触っただけではお熱があるとわかりませんでした。
この場合基本は涼しい部屋で過ごせばいいのでしょうか