肺に炎症あり、再受診の目安について

10歳未満/男性 - 2023/03/23

4歳の男の子です。
以下、経過です。

3/6　発熱あり（最高39.0）、鼻水、痰がらみの咳あり。小児科を受診し、普通の風邪との診断。
3/8　解熱。熱は下がったものの、痰がらみの咳が続く。

3/19　再度発熱あり（最高39.0 ）。
3/20　小児科を受診し、3/6から痰がらみの咳が治らない旨も伝えたところ、レントゲンを撮ってもらう。
肺に一部白いモヤがあり、炎症が起きているとのことで、オゼックスを5日間、痰切りなどの薬を処方してもらいました。

熱はオゼックスを飲み始めた20日の夜には下がりました。それ以降、発熱していません。
咳も徐々に治まってきてはいますが、すっきりとは治りきっていない状態です。
20日受診の際、抗生剤を飲んでも咳が治らなければ再度受診して、血液検査しましょうとのことでした。

ここで何点か質問です。

1.咳も酷いわけではなく、時々痰絡みの咳が出る程度です。夜も咳で起きることもなく、ぐっすり眠れています。（痰が多いようで、喉に絡みゴロゴロ聴こえるときはあります）
明日、抗生剤を飲み切るのですが、すっきりと完全に治り切っておらず、この状態でも先生が言った通り、再受診し血液検査してもらったほうが良いのでしょうか？肺に炎症があると言われたため、少し不安です。

2.先生から抗生剤を2日程飲めば、咳も治まるはずだと言われたのですが、本当でしょうか？現状、咳が治りきっていないところを見ると抗生剤が効いていないということでしょうか？

3.保育園の登園目安を教えてください。
咳が完全に治らないと登園は難しいでしょうか？

炎症があると言われたため、色々と判断が難しく…どうぞよろしくお願い致します。