切り傷にゲンタシンを塗るべきでしょうか

10歳未満/女性 - 2023/04/15

お世話になっております。数時間前に7歳の子供が小指の先をデザインナイフで切りました。（少し前に流行ったボールテープ？というのをカッターなどで切って断面を楽しむような遊びを私としていました）刃物なので主に私が扱っておりましたが、本人もやりたがるので3回くらい切らせたところ見事に指先を切りました。完全に私の不注意です。直ぐに水で洗ってガーゼで止血し、血は5分程度で止まったのでサージカルテープで傷口を止めて本人は寝ました。傷そのものはそれほど酷くないですし痛みも大した事ないようです。
恐らく通常はこの処置で様子見で良いと思うのですが、昨年末、習い事のスイミングの際に膝をぶつけて切り傷をつくりそこにバイ菌が入って蜂窩織炎と血管炎まで発展しとても大変な目に遭ったことをふと思い出しました。切り傷に対しこの処置で大丈夫なのか心配になってきたためご相談させて頂きたいです。
流水で洗っただけで消毒もしてませんが今からでも消毒をするべきでしょうか。
もしくは自宅にあるゲンタシン軟膏などを塗っておくなどで細菌感染を防げますか？
意味がなかったり、逆効果ですか？
アドバイス頂けると有難いです。
よろしくお願い致します。