4歳の子供の咳の症状について

30代/女性 - 2023/05/10

4月20日辺りからずっと咳が出続けています。
頻繁にというほどではなく、数時間に数回くらいだったのですが、片方の目の周りも赤くなっていたのでアレルギーかなと思い25日に耳鼻科でアスベリンドライシロップとカルボシステイン、アンブロキソールを出してもらいました。
毎日飲ませていましたが3日ほど前から咳が悪化してしまい昨日また耳鼻科に行き薬をモンテルカスト、カルボシステイン、アンブロキソール、ツロブテロールテープに変更になりました。
熱は一回も出ておらず、喉も赤くなく、鼻水の色も透明です（昨日の診察の際に言われました）。咳はタンが絡んだような音です。鼻水は頻繁ではないですがあります。鼻水が出ていないのによくズーズー吸っている動作をします。夜寝ているときの咳は2回くらいでぐっすり眠れています。食欲はあり、咳以外は元気です。
咳が長引いて酷くなっていて心配しています。一回も熱が出てないということは風邪ではなくアレルギー系の病気なのでしょうか？血液検査やレントゲンはしていませんが、どのくらい治らなかったらした方がいいなど目安はありますか？アレルギーかなと思い耳鼻科に通っていますが症状から小児科の方がいいのでしょうか？
コロナは1月にかかっているので可能性は低いと思っています。
複数質問がありますが、回答お願いします。