3歳のこども　咳が約１ヶ月続いている

10歳未満/男性 - 2023/05/14

3歳のこどもです。
長文失礼致します。

【経緯】
4/15発熱
4/17解熱&3回くらいの空咳
4/19小児科受診
4/27咳が続いているので耳鼻科を受診したところ、呼吸と肺の音もきれいだが軽く蓄膿気味になっており咳が続くのはそのせいだと言われ抗生物質を４日間処方され飲んだ
5/1耳鼻科に再受診。咳は治まってはきているがほんのたまにでると話すと、蓄膿は治ってる。呼吸音にも問題ない。新たに風邪を引き始めたのではないか、との診断
5/3~5咳は治まっていた
5/6一度だけ嘔吐
5/7一度だけ下痢
5/8,9排便なし。１日２回程度の咳がでる
5/10通常の便がでた
5/11 13日ぶりの幼稚園。夜から咳。寝る前と、寝ているときに２回ずつくらい。
5/12~現在　寝起き、寝る前、寝ているときに少し咳がでるが、5/11に比べるとマシになってる気がする。日中は１、２回

【質問】
1,風邪を引いて一度咳がおさまったと思ったらまた咳が出始めたが、咳が１ヶ月程度続くことはあるのですか？

2,耳鼻科の先生に２回(呼吸音に異常なしと言われた)、5/13に幼稚園で内科検診があり、そのときにも聴診器を当ててもらっているが受診したほうがいいでしょうか？
喘息や気管支炎なのではないかと心配です。

3,胃腸炎でも咳がでることはあるのでしょうか？

4,８ヶ月の下のこどもが5/14に下痢になりました。上の子が嘔吐したときから隔離しており、症状がなくなった5/11から一緒に過ごしていましたが便の処理にはすごくきをつけていました。
下の子の近くで咳をしたりくっついたりしていたのでそれでうつったのではないかと思っているのですが、胃腸炎でも唾液感染はありえるのでしょうか？(唾液感染はしないと思っていました)

宜しくお願い致します。