５歳、足の親指を深爪、膿が出て赤くなっています。自宅での手当や受診の目安を教えていただきたいです。

乳幼児/女性 - 2023/05/24

５歳こども、足の親指を深爪しました。
2日ほど前から深爪した所が膿んでいます。
2日前は絆創膏に膿がついており、昨日は絆創膏にはつかないものの、臭いがあり、周囲を押したところ少し膿がでました。
綺麗に洗って乾かし、通園時のみ絆創膏を貼っているのですが、このまま待てば治るのでしょうか？
指が赤くなっているのですが受診した方がいいでしょうか？また、受診の場合は整形外科と皮膚科どちらでしょうか？

常に痛みはありますが、歩く、遊ぶなどするには困らないようです。触ると特に痛いとのこと。

経緯として、
爪をいじり、爪が割れ、こどもから言われた時には少し血が出ていました。
残った爪を切り、綺麗に洗い、清潔な布で拭いて乾かしてから絆創膏をはりました。
血が止まってからは絆創膏は貼らず、痛がらないためそのままにしていました。
その後田んぼに入る機会があり、足が泥まみれになり、その後数日経って痛がり、膿が出ていることに気がつきました。