4歳男児、細菌性の風邪、上下する熱

10歳未満/男性 - 2023/06/25

4歳男児、喘息持ちです。
17日(土)より咳
18日(日)夕方38.5度の発熱
19日(月)小児科受診→吸入と風邪薬の指示
20日(火)午前中39度、小児科受診
　血液検査で白血球数17.3・CRP2.4
　→抗生剤(ワイドシリン)処方、昼夕夜3回服用、夕方40.4度(カロナール服用)
21日(水)朝37.6度、小児科で血液検査
　→白血球数13.9・CRP5.6、白血球の下がり方が悪いとのことで抗生剤変更(セフジニル)、夕方39度
22日(木)朝37.2度、夕方38.2度
23日(金)朝方38度位、小児科で血液検査
　→白血球数13.9(変化なし)・CRP1.9(下降)、抗生剤3日分追加(月曜まで)
24日(土)朝方38度位、手のひらが熱く大汗をかいて起きる、昼夜は平熱、鼻水が出始める
25日(日)朝方咳き込んで起き、38.1度

咳は痰がらみの咳で、少しずつ減ってはいるものの、継続して出ているため一日平均3回の吸入をしています。
熱が低めの時は元気で、水分・食事は摂れています。
周りにコロナはいませんが念のため20日の朝自宅で検査をし陰性でした。
幼稚園では風邪でお休みが多かったということは聞いています。
小児科では、このまま熱が下がり切らず心配ならば大きな病院へ紹介状を書きますが、今の風邪は熱が長引く傾向にあり、みなさんこんな感じなので、悪くなっていなければ様子を見てもいいかも？とのことでした。
全体的に見ると良くはなってきているのですが、長引いていることと朝方熱が上がるのが心配です。
・朝方熱が上がる理由
・すぐに大きな病院で診てもらうべきか
・様子を見ていい状態と大きな病院で診てもらう目安
についてアドバイスをいただけますでしょうか。
長くなり、読みづらく申し訳ありません。よろしくお願い致します。